กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ Mathematics

 

โจทย์ข้อ 3 มีชิ้นส่วน 4 ชิ้นประกอบตามภาพที่ 1มีพื้นที่ 64 ตารางหน่วย เมื่อประกอบใหม่ตามภาพที่ 2
จะมีพื้นที่ 65 ตารางหน่วย จงพิสูจน์ว่าทำไม่ 64 = 65 (10 คะแนน)
ข้อนี้ผมทำประมาณ 15 นาที
โดยตอนแรกตรวจสอบพื้นที่ว่าจริงดังภาพหรือไม่
ภาพที่ 1
พื้นที่ชิ้น 1+ชิ้น 4 = 3x8=24=((1/2)x3x8)+ ((1/2)x3x8)
พื้นที่ชิ้น 2+ชิ้น 3 = 5x8=40=((1/2)x(3+5)x5)+ ((1/2)x(3+5)x5)
พื้นที่รวม = 24+40 = 64 จริง
ภาพที่ 2
พื้นที่ชิ้น 1+ชิ้น 3 = ((1/2)x5x13) =32.5 = ((1/2)x3x8) + ((1/2)x(3+5)x5)
พื้นที่ชิ้น 2+ชิ้น 4 = ((1/2)x5x13) =32.5 = ((1/2)x3x8) + ((1/2)x(3+5)x5)
พื้นที่รวม = 32.5+32.5 = 65 จริง
ฉะนั้นโจทย์ข้อนี้จึงน่าจะเป็นที่รูปหลอกตา

จากพื้นที่ชิ้น 1+ชิ้น 4 =รูปสามเหลี่ยม ABC จริงแล้ว สามเหลี่ยม DEC ต้องคล้าย สามเหลี่ยม ABC ด้วย
จากอัตราส่วนด้านสมนัยกันต้องเท่ากัน
ฉะนั้น (ด้าน ED)/(ด้าน BA) = (ด้าน CD)/(ด้าน DE)
แต่เมื่อแทนค่า 3/5 ไม่เท่ากับ 8/15
จึงสรุปได้ว่าจากพื้นที่ชิ้น 1+ชิ้น 4 ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมแน่นอน
ภาพ B ที่เห็นหลอกตาเพราะเป็นภาพเล็กจึงต้องขยายภาพดูพบว่า

จะมีพื้นที่ประกอบกันไม่สนิทขนาด 1 อยู่ตรงกลาง เพราะ 64=65-1
สรุป 64 ไม่เท่ากับ 65 เพราะถูกหลอกตาว่า ชิ้น 1+ชิ้น 4
=รูปสามเหลี่ยม(ที่จริงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า)
ตอนสอบเสร็จผมข้องใจกับ 3 ข้อนี้เอามาออกและวัดความรู้อะไรเลยจำและรีบเอามาลงกระทู้ท่าน Suzuki ไว้ 3
ข้อนี้ผมดูว่าไม่ได้เป็นโจทย์วัดเชาว์ปัญญาอะไรเลย แต่กับสร้างปัญหากับการวัดผลถ้าไม่มี 3 ข้อนี้ 75
ข้อที่ทำเต็มแน่นอนเพราะมีเวลาทบทวน หรือ 3
ข้อนี้ตรงเนื้อหาม.ปลายและกำหนดเวลาเหมาะสมก็น่าจะเต็มแน่นอน
ถ้าเกณ์การผ่านยอดเยี่ยม 80% 10 เรื่องจาก 15 ข้อ + 3 ข้อ ไม่น้อยกว่า 12
คะแนนผมก็ว่าน่าจะอยู่ในเกณฑ์หลายคน มีคน post เวปครูบ้านนอกบอกว่าสมาคมคณิตศาสตร์บอกว่าคนสอบคณิตม.ปลาย
5 พันคน
คัดเอา 5 ร้อยคน ดีเยี่ยม มีแค่ 3 คน ดีมาก 100 กว่าคน นอกนั้นก็พื้นๆ ผมว่าไม่เป็นความจริงแน่นอน
ขนาดผมมือกลางๆของภาคตะวันออกอย่างผมยังผ่านฉลุยเลย มีคนเก่งคิดเร็วกว่าผมอีกตั้งหลายคน
ซึ่งมีผลกับตอนอบรมมาก คล้ายถูกสบประมาทจากอาจารย์มหาวิทยาลัยว่าไม่มีความรู้ความสามารถกัน
อาจารย์มหาวิทยาลัยจะชอบอ่านกระทู้ต่างๆในเวปการศึกษาต่างๆตลอดจึงถูกมองว่า ครูคณิตใน 5 กลุ่มวิชา
เป็นอะไรที่อ่อนกว่าสาขาวิชาอื่นๆ(เซ็งมาก) แต่ก็เป็นแค่คำกระเซ้า

โจทย์กำหนดตัวอักษรแต่ละตัว แทนตัวเลขเพียง 1 ตัว จากเลขโดด 0-9

จากความสัมพันธ์ของตำแหน่งต่างหลักต่างๆของระบบจำนวนเต็ม(ผมจำตำแหน่งตัวแปรหลักที่ซ้ำกันได้หมดแต่จำชื่อ
ตัวแปรแต่ละตัวที่เขียนในข้อสอบจริงไม่ได้) จงหาค่าตัวแปร แต่ละตัว (10 คะแนน)


ข้อนี้ผมคิด 15 นาทีแต่เวลาไม่พอพึ่งเสร็จขั้นตอนแรก 3 ตัวแปร(5นาที)
ก่อนหน้านั้นผมกำหนดความสัมพันธ์และแก้สมการความสัมพันธ์ 6 ความสัมพันธ์ของจำนวนหลัก (10นาที)
ซึ่งมองทีละความสัมพันธ์จะไม่สามารถแก้ปัญหาได้แน่นอน จึงต้องมองย้อนกลับและแบ่งกลุ่มการมองแทน จำนวน 5
หลักบวกจำนวน 4 หลัก ได้จำนวน 6 หลัก จากการทดลองแก้ปัญหาด้วยหลักสมการ
โจทย์ข้อนี้น่าจะใช้เวลาอย่างน้อยก็ 30 นาทีก็น่าจะหลุดหมดเพราะมี3ขั้นตอนดังนี้

ตอนที่ 1 แบ่งกลุ่มการมอง จากจำนวน 5 หลักบวกจำนวน 4 หลัก ได้จำนวน 6 หลัก และการมองแบบแบ่งกลุ่มการมอง
จะได้ H จะต้องเป็นเลข 9 เท่านั้น และจะได้ C เป็น 1 และ B ไม่มีทางเป็นเลขอื่นได้นอก 0 เพียงตัวเดียว
สรุป H=9,C=1,B=0

ตอนที่ 2 ย้อนกลับมามองที่หลักหน่วย K+T=9 มีได้ 6 กรณี
กรณี 1: 5+4=9
กรณี 2: 6+3=9
กรณี 3: 7+2=9
กรณี 4: 4+5=9
กรณี 5: 3+6=9
กรณี 6: 2+7=9
จากกรณี 1: K=5,T=4 ขัดแย้ง จะได้ M =5 เพราะ H=9 ซึ่ง ค่า Mจะซ้ำกับค่าK
จากกรณี 2: K=4,T=5 สมเหตุสมผล จะได้ M =6 เพราะ H=9 ซึ่ง ค่า Mจะไม่ซ้ำกับค่าK
(หมายเหตุอีก 4 กรณีจะอยู่ตอนท้าย)
สรุป K=4,T=5,H=9 (จะเหลือตัวแปร I,G,E,R และ ตัวเลข 2,3,7,8)

ตอนที่ 3 จากหลักสิบ M+H=6+9=15 เกินหลัก 10 จะต้องทดเพิ่มในหลักร้อยอีก 1
แล้วมอง กรอบแดงเป็นเลขสองหลัก ฉะนั้นจะได้
(10T+I+1)+(10G+E) = 100+10I+R
แทน T=5 จะได้
50+I+1+10G+E= 100+10I+R


10G+1+I+E=50+10I+R………………(1)
จากกรณี :1+2+3 ใช่ไม่ได้เพราะ =6 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า M ซึ่ง=6
:1+2+7 ใช่ไม่ได้เพราะ =10 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า B ซึ่ง=0
:1+2+8 ใช่ไม่ได้เพราะ =11 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า C ซึ่ง=1
:1+3+7 ใช่ไม่ได้เพราะ =11 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า C ซึ่ง=1
:1+7+8 ใช่ไม่ได้เพราะ =16 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า M ซึ่ง=6
:1+3+8 ใช่ได้เพราะ =12 ทำให้ตัวท้าย R = 2
ฉะนั้น จะมี 2 กรณีที่ R=2
กรณี1 I=3,R=8 เมื่อแทนค่าใน(1)จะได้
10G+1+3+8=50+10(3)+2
10G+12=82
10G=70
G=7 สมเหตุสมผล
กรณี2 I=8,R=3 เมื่อแทนค่าใน(1)จะได้
10G+1+8+3=50+10(8)+2
10G+12=132
10G=120
G=12 ขัดแย้งเพราะGแทนด้วยเลขโดด 0-9
สรุป R=2,I=3,E=8,G=7
จากทั้งหมดที่ทำจะเห็นความซับซ้อนในการพิจารณา ซึ่งต้องใช้เวลา ไม่น้อยกว่า 30 นาทีในการทำ(ถ้าเริ่มตอน
2 ที่กรณี 1,2)
จากกรณีตอน 2 ถ้าเริ่มจากกรณี 3,4 หรือ5,6พวกนี้ก็อาจจะต้องใช้เวลาเพิ่มข้อนี้เป็น 1 ช.ม.ถึง
1ช.ม.ครึ่ง
เช่น


ถ้าเริ่มจากกรณี 3: K=6,T=3 จะได้ M =4 เพราะ H=9 ซึ่ง ค่า Mจะไม่ซ้ำกับค่าK
ตอน 3 จะเหลือ ตัวแปร 4 ตัวและคัวเลขอีก 4 ตัวคือ 2,5,7,8
ตอนที่ 3 จากหลักสิบ M+H=4+9=13 เกินหลัก 10 จะต้องทดเพิ่มในหลักร้อยอีก 1
แล้วมอง กรอบแดงเป็นเลขสองหลัก ฉะนั้นจะได้
(10T+I+1)+(10G+E) = 100+10I+R
แทน T=3 จะได้
30+I+1+10G+E= 100+10I+R


10G+1+I+E=70+10I+R………………(2)
จากกรณี :1+2+5 ใช่ได้เพราะ =8 ทำให้ตัวท้าย R =8
:1+2+7 ใช่ไม่ได้เพราะ =10 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า B ซึ่ง=0
:1+2+8 ใช่ไม่ได้เพราะ =11 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า C ซึ่ง=1
:1+5+7 ใช่ไม่ได้เพราะ =13 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า T ซึ่ง=3
:1+5+8 ใช่ไม่ได้เพราะ =14 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า M ซึ่ง=4
:1+7+8 ใช่ไม่ได้เพราะ =16 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า K ซึ่ง=6
ฉะนั้น จะมี 2 กรณีที่ R=8
กรณี1 I=2,R=5 เมื่อแทนค่าใน(2)จะได้
10G+1+2+5=70+10(2)+8
10G+8=98
10G=90
G=9 ขัดแย้งเพราะ = H
กรณี2 I=5,R=2 เมื่อแทนค่าใน(2)จะได้
10G+1+5+2=70+10(5)+8
10G+8=128
10G=120
G=12 ขัดแย้งเพราะGแทนด้วยเลขโดด 0-9




ถ้าเริ่มจากกรณี 4: K=3,T=6 จะได้ M =7 เพราะ H=9 ซึ่ง ค่า Mจะไม่ซ้ำกับค่าK
ตอน 3 จะเหลือ ตัวแปร 4 ตัวและคัวเลขอีก 4 ตัวคือ 2,4,5,8
ตอนที่ 3 จากหลักสิบ M+H=7+9=16 เกินหลัก 10 จะต้องทดเพิ่มในหลักร้อยอีก 1
แล้วมอง กรอบแดงเป็นเลขสองหลัก ฉะนั้นจะได้
(10T+I+1)+(10G+E) = 100+10I+R
แทน T=6 จะได้
60+I+1+10G+E= 100+10I+R


10G+1+I+E=40+10I+R………………(3)
จากกรณี :1+2+4 ใช่ไม่ได้เพราะ =7 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า M ซึ่ง=7
:1+2+5 ใช่ได้เพราะ =8 ทำให้ตัวท้าย R = 8
:1+2+8 ใช่ไม่ได้เพราะ =11 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า C ซึ่ง=1
:1+4+5 ใช่ไม่ได้เพราะ =10 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า B ซึ่ง=0
:1+4+8 ใช่ไม่ได้เพราะ =13 ทำให้ตัวท้ายซ้ำกับ ค่า K ซึ่ง=3
:1+5+8 ใช่ได้เพราะ =14 ทำให้ตัวท้าย R = 4
ฉะนั้น จะมี 4 กรณีโดย กรณีที่ R=8(2กรณี)
กรณี1 I=2,E=5 เมื่อแทนค่าใน(3)จะได้
10G+1+2+5=40+10(2)+8
10G+8=68
10G=60
G=6 ขัดแย้งเพราะ=T
กรณี2 I=5,E=2 เมื่อแทนค่าใน(3)จะได้
10G+1+5+2=40+10(5)+8
10G+8=98
10G=90
G=9 ขัดแย้งเพราะ=H
กรณีที่ R=4 (2กรณี)
กรณี3 I=5,E=8 เมื่อแทนค่าใน(3)จะได้
10G+1+5+8=40+10(5)+4
10G+14=94
10G=80
G=9 ขัดแย้งเพราะ=E
กรณี4 I=8,E=5 เมื่อแทนค่าใน(3)จะได้
10G+1+8+5=40+10(8)+4
10G+14=124
10G=110
G=11 ขัดแย้งเพราะGแทนด้วยเลขโดด 0-9


ถ้าเริ่มจากกรณี 5: K=7,T=2 จะได้ M =3 เพราะ H=9 ซึ่ง ค่า Mจะไม่ซ้ำกับค่าK
ตอน 3 จะเหลือ ตัวแปร 4 ตัวและคัวเลขอีก 4 ตัวคือ 4,5,6,8
ตอนที่ 3 จากหลักสิบ M+H=3+9=12 เกินหลัก 10 จะต้องทดเพิ่มในหลักร้อยอีก 1
แล้วมอง กรอบแดงเป็นเลขสองหลัก ฉะนั้นจะได้
(10T+I+1)+(10G+E) = 100+10I+R
แทน T=2 จะได้
20+I+1+10G+E= 100+10I+R


10G+1+I+E=80+10I+R………………(4)
จากกรณี :1+4+5 ใช่ไม่ได้เพราะ =10 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า B ซึ่ง=0
:1+4+6 ใช่ไม่ได้เพราะ =11 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า C ซึ่ง=1
:1+4+8 ใช่ไม่ได้เพราะ =13 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า M ซึ่ง=3
:1+5+6 ใช่ไม่ได้เพราะ =12 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า T ซึ่ง=2
:1+5+8 ใช่ได้เพราะ =14 ทำให้ตัวท้าย R = 4
:1+6+8 ใช่ได้เพราะ =15 ทำให้ตัวท้าย R = 5
ฉะนั้น จะมี 4 กรณีโดย กรณีที่ R=4(2กรณี)
กรณี1 I=5,E=8 เมื่อแทนค่าใน(4)จะได้
10G+1+5+8=80+10(5)+4
10G+14=134
10G=120
G=12 ขัดแย้งเพราะGแทนด้วยเลขโดด 0-9
กรณี2 I=8,E=5 เมื่อแทนค่าใน(4)จะได้
10G+1+8+5=80+10(8)+4
10G+14=164
10G=150
G=15 ขัดแย้งเพราะGแทนด้วยเลขโดด 0-9
กรณีที่ R=5 (2กรณี)
กรณี3 I=6,E=8 เมื่อแทนค่าใน(4)จะได้
10G+1+6+8=80+10(6)+5
10G+15=145
10G=130
G=13 ขัดแย้งเพราะGแทนด้วยเลขโดด 0-9
กรณี4 I=8,E=6 เมื่อแทนค่าใน(4)จะได้
10G+1+8+6=80+10(8)+5
10G+15=165
10G=150
G=15 ขัดแย้งเพราะGแทนด้วยเลขโดด 0-9


ถ้าเริ่มจากกรณี 6: K=2,T=7 จะได้ M =8 เพราะ H=9 ซึ่ง ค่า Mจะไม่ซ้ำกับค่าK
ตอน 3 จะเหลือ ตัวแปร 4 ตัวและคัวเลขอีก 4 ตัวคือ 3,4,5,6
ตอนที่ 3 จากหลักสิบ M+H=8+9=17 เกินหลัก 10 จะต้องทดเพิ่มในหลักร้อยอีก 1
แล้วมอง กรอบแดงเป็นเลขสองหลัก ฉะนั้นจะได้
(10T+I+1)+(10G+E) = 100+10I+R
แทน T=5 จะได้
50+I+1+10G+E= 100+10I+R


10G+1+I+E=50+10I+R………………(5)
จากกรณี :1+3+4 ใช่ไม่ได้เพราะ =8 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า M ซึ่ง=8
:1+3+5 ใช่ไม่ได้เพราะ =9 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า H ซึ่ง=9
:1+3+6 ใช่ไม่ได้เพราะ =10 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า B ซึ่ง=0
:1+4+5 ใช่ไม่ได้เพราะ =10 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า B ซึ่ง=0
:1+4+6 ใช่ไม่ได้เพราะ =11 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า C ซึ่ง=1
:1+5+6 ใช่ไม่ได้เพราะ =12 ทำให้ตัวท้าย R ซ้ำกับ ค่า K ซึ่ง=2
สรุปจึ่งมีเพียง กรณีเดียว จากทั้งหมด 6 กรณีในวิธีคิดตอน 2 คือ กรณี 2 K=4,T=5
ที่ทำให้ตัวแปรแต่ละตัวมีเพียงค่าเดียว
ซึ่งจะเห็นว่า ข้อนี้เสมือนง่ายแต่ยาวแบบโคตรๆ
ทำไมถึงเอามาวัดความรู้ครูม.ปลายและผมก็เชื่อว่าในเฉลยเขาคงมีแค่กรณีเดียวแล้วใครจะสุ่มหาเจอ
เพื่อนครูบางคนบอกว่าสอบวัดความรู้คนที่ผ่านเข้าอบรมทำส่วน 2 กันไม่ได้ ไม่ผ่านเกณฑ์ยอดเยี่ยม
ผมว่าลองดูข้อนี้ 10 คะแนน ถ้าทำครบก็ ชั่วโมงครึ่ง ผมว่าทุก คนทำได้อย่างน้อยก็ 3 คะแนนครับ และตอน 2
ผมก็ไม่ได้ ทำกรณี 2 K=4,T=5 ก่อนด้วย

นักเรียนโรงเรียนชลชายไอเดียกระฉูด สร้างเกมส์พัฒนาสมอง เพื่อฝึกฝนความรู้วิชาตรีโกณมิติ

โครงการคณิตศาสตร์ เกม สมาร์ท ตีโกณ บิกินนิ่ง(Smart Trigon Beginning) เป็นโครงการที่จัดทำโดย นายเทพกร ธนูถนัด, นาสยณัฐพล กลิ่นทวี, และนายชาญวิทย์ อนันตประยูร นักเรียนชั้น ม.6 โรงเรียนชลราษฎรอำรุง โดยทั้งสามยอมรับว่า เมื่อก่อนเคยติดเล่นเกมส์อย่างหนัก จนทำให้ส่งผลต่อการเรียน ทำให้มีแนวคิดในการพัฒนาเกมส์ขึ้นมา เพื่อพัฒนาทักษะความรู้ต่างๆ จึงได้เริ่มศึกษาค้นคว้าการพัฒนาเกมสมาร์ท ตีโกณ บิกินนิ่ง ขึ้นมา โดยใช้เวลาในการผลิตเกมประมาณ 3 เดือน โดยตัวเกมจะแบ่งออกเป็น 3 ด่าน เน้นให้ผู้เล่น 2 คน ตอบคำถามเกี่ยวกับวิชาตรีโกณ มิติ จำพวก ไซน์ คอสแทน ผู้เล่นคนใดตอบได้ก่อน ก็จะได้แต้ม ใครได้แต้มมากกว่าก็เป็นฝ่ายชนะ
ด้านอาจารย์ฉันทนา มนต์วิเศษ อาจารย์ที่ปรึกษาโครงการเปิดเผยว่า ภายหลังนำเกม สมาร์ท ตีโกณ บิกินนิ่ง ไปให้นักเรียนในชั้นต่างๆได้ฝึกเล่น ทำให้นักเรียนมีความตื่นตัวที่จะศึกษาหาความรู้เกี่ยวกับวิชาตรีโกณ มิติ มากขึ้น เพราะนอกจากจะได้ความรู้แล้วยังสนุกสนานอีกด้วย นอกจากนี้เกม สมาร์ท ตีโกณ บิกินนิ่ง ยังได้รับรางวัลเหรียญทอง ระดับประเทศ จากงานศิลปะ หัตถกรรม ประจำปี 2552 ด้วย นายชาญวิทย์ อนันตประยูร ยังย้ำอีกว่า เกมใช่ว่าจะมีแต่โทษ หากเยาวชนรู้จักเลือกเล่นเกมก็มีประโยชน์ได้

นางสาวยุพิน อธิคมกมลาศัย
วิทยฐานะ ชำนาญการพิเศษ
วุฒิการศึกษา ปริญญาโท กศ.ม. คณิตศาสตร์ ม.นเรศวร
                         โครงการครูประจำการรุ่น 3
                          ย้ายมาจาก ร.ร.ชลบุรี(สุขบท)
ปัจจุบัน หัวหน้ากลุ่มสาระคณิตศาสตร์
               โรงเรียนชลราษฎรอำรุง